相同的逻辑函数可以有很多种不同的表达形式，本节介绍两种逻辑函数的标准形式，称为积之和标准型与和之积标准型，然后讨论如何将函数化为标准型。
首先来了解一下最小项的概念。在一个n变量的函数中，具有由这n个变量所组成的乘积项，如果在这些乘积项中，每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，且只出现一次，那么这个乘积项就称为最小项，一个n变量的函数共有2n个最小项。例如，一个包含A、B、C、D四个变量的函数，AB' CD，A' BCD都是最小项，BCD'，B' CCD则不是最小项。
通常，把最小项表示为mi，i的确定方法是：把乘积项中的原变量当作1，反变量当作0，这样每个最小项都代表一个二进制数，这个二进制数所对应的十进制数即为i的值。例如，AB' CD对应的二进制数是1011，为m11。
三变量的所有最小项如表2-14所示。为了总结最小项的性质，列出全部最小项的真值，如表2-15所示。
表2-14 三变量函数的最小项
A |
B |
C |
最小项mi |
A |
B |
C |
最小项mi |
|
0 |
0 |
0 |
A' B' C' |
1 |
0 |
0 |
AB' C' |
|
0 |
0 |
1 |
A' B' C |
1 |
0 |
1 |
AB' C |
|
0 |
1 |
0 |
A' BC' |
1 |
1 |
0 |
ABC' |
|
0 |
1 |
1 |
A' BC |
1 |
1 |
1 |
ABC |
表2-15 三变量最小项的真值表
|
A B C |
m0 |
m1 |
m2 |
m3 |
m4 |
m5 |
m6 |
m7 |
|
A'B'C' |
A'B'C |
A'BC' |
A'BC |
AB'C' |
AB'C |
ABC' |
ABC | |
|
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 |
1 0 0 0 0 0 0 0 |
0 1 0 0 0 0 0 0 |
0 0 1 0 0 0 0 0 |
0 0 0 1 0 0 0 0 |
0 0 0 0 1 0 0 0 |
0 0 0 0 0 1 0 0 |
0 0 0 0 0 0 1 0 |
0 0 0 0 0 0 0 1 |
根据表2-15，可以总结出最小项的性质有以下3点。
· 对于每个最小项，只有一种变量取值可以使其为1，其他变量取值均使其为0。例如，对于最小项AB' C，只有取值101才能使其为1。
· 因为任意一种变量取值只能使一个最小项为1，而不能同时使两个或两个以上最小项为1，所以任意两个最小项的逻辑与为0。即：
当i≠j时， mi·mj=0
· 对于变量的任意取值，全部最小项的逻辑或为1。即：
∑mi=1
下面介绍积之和的标准形式。积之和的标准形式也就是最小项之和的形式。例如，F（A，B，C）=A' BC+AB' C+A' BC'就是最小项之和的形式，所以是积之和的标准形式，而F（A，B，C）=A' B+BC'+AB'虽然也是积之和的形式，但因为不是最小项之和的形式，所以不是积之和的标准形式。
通常为了方便，我们将积之和的标准形式写为它的一般表达式，举例说明。
F（A，B，C）=A' BC+AB' C+A' BC'
= m3+m5+m2
=∑m（2，3，5）
=∑（2，3，5）
再举一个例子。
F（A，B，C）=A' B' C'+A' BC'+A' BC+AB' C+ABC'+ABC
= m0+m2+m3+m5+m6+m7
=∑m（0，2，3，5，6，7）
=∑（0，2，3，5，6，7）
这就是积之和的一般表达式。
最大项是变量的和项，在一个n变量的和项中，每一个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，且只出现一次，这样的和项就是最大项。一个n变量的函数共有2n个最大项。例如，一个包含A、B、C三个变量的函数，A'+B+C、A+B'+C'都是函数的最大项，而A+B、B+C+C'都不是最大项。
通常，我们把最大项表示为Mi，i的确定方法是：把乘积项中的原变量当作0，反变量当作1，这样每个最大项都代表一个二进制数，这个二进制数所对应的十进制数即为i的值。例如，A+B'+C对应的二进制数是010，为M2。
三变量的最大项列表如表2-16所示。
表2-16 三变量函数的最大项
|
A |
B |
C |
最大项Mi |
A |
B |
C |
最大项Mi |
|
0 |
0 |
0 |
A+B+C |
1 |
0 |
0 |
A'+B+C |
|
0 |
0 |
1 |
A+B+C' |
1 |
0 |
1 |
A'+B+C' |
|
0 |
1 |
0 |
A+B'+C |
1 |
1 |
0 |
A'+B'+C |
|
0 |
1 |
1 |
A+B'+C' |
1 |
1 |
1 |
A'+B'+C' |
同样，为了总结出最大项的性质，列出最大项对于所有变量取值的真值，如表2-17所示。
表2-17 三变量最大项的真值表
|
A B C |
M0 |
M1 |
M2 |
M3 |
M4 |
M5 |
M6 |
M7 |
|
A+B+C |
A+B+C' |
A+B'+C |
A+B'+C' |
A'+B+C |
A'+B+C' |
A'+B'+C |
A'+B'+C' | |
|
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 |
0 1 1 1 1 1 1 1 |
1 0 1 1 1 1 1 1 |
1 1 0 1 1 1 1 1 |
1 1 1 0 1 1 1 1 |
1 1 1 1 0 1 1 1 |
1 1 1 1 1 0 1 1 |
1 1 1 1 1 1 0 1 |
1 1 1 1 1 1 1 0 |
根据表2-17，可以总结出最大项的性质有以下3点：
· 对于每个最大项，只有一种变量取值可以使其为0，其他变量取值均使其为1。例如，对于最大项A+B'+C'，只有取值011才能使其为0。
· 因为任意一种变量取值只能使一个最大项为0，而不能同时使两个或两个以上最大项为0，所以任意两个最大项的逻辑或为1。即：
当i≠j时， Mi+Mj=1
· 对于变量的任意取值，全部最大项的逻辑与为0。即：
∏Mi=0
下面介绍和之积的标准形式。和之积的标准形式也就是最大项之积的形式。例如，
F（A，B，C）=（A'+B+C）（A+B'+C'）（A+B+C'）就是最大项之积的形式，所以是和之积的标准形式，而F（A，B，C）=（A'+B）（B+C）（A+B'）虽然也是和之积的形式，但因为不是最大项之积的形式，所以不是和之积的标准形式。
通常为了方便，同样将和之积的标准形式写为它的一般表达式。如：
F（A，B，C）=（A'+B'+C）（A+B'+C）（A'+B+C'）
= M6·M2·M5
=∏M（3，5，6）
=∏（3，5，6）
这就是和之积的一般表达式。
根据前面关于最小项和最大项的学习，将最小项和最大项之间的关系总结如下：
（1）最小项与最大项互为非运算，即
mi=Mi'或mi' =Mi
例如， m5=AB' C=（A'+B+C'）'=M5'
M7'=A'+B'+C'=（ABC）'=m7'
（2）若某函数可以用N项最小项之和表示，那么它的反函数可以用N项最大项之积表示，而且最大项与最小项的下标不变。
例如，若F（A，B，C）=∑m（2，4，5，7），则F' =∏M（2，4，5，7）
（3）一个n变量的函数，既可以用最小项之和表示，也可以用最大项之积表示。而且最大项的下标刚好是除最小项下标之外的其他可能的下标，所有最大项与最小项的下标个数之和为2n。
例如，若用最小项之和表示为 F（A，B，C）=∑m（1，3，4，6）
则用最大项之积表示为 F（A，B，C）=∏M（0，2，5，7）。
从一个逻辑函数的真值表，可以直观、方便地写出这个函数的和之积与积之和的标准型。下面举例说明。
【例2-8】写出如表2-18所示的逻辑函数的积之和标准型。
解：观察真值表2-18中使F=1的项，可以写出函数F的积之和标准型如下：
F=A' B' C+AB' C+ABC'
= m1+m5+m6
=∑m（1，5，6）
表2-18 真值表
|
A |
B |
C |
F |
A |
B |
C |
F |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
【例2-9】写出如表2-19所示的逻辑函数的和之积标准型。
表2-19 真值表
|
A |
B |
C |
F |
A |
B |
C |
F |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
解：观察真值表2-19中使F=0的项，可以写出函数F的和之积标准型如下：
F=（A+B+C'）（A+B'+C）（A'+B+C）（A'+B'+C'）
= M0·M3·M5·M6
=∏M（0，3，5，6）
【例2-10】写出如表2-20所示的逻辑函数表达式，并说明其逻辑功能。
表2-20 真值表
|
A |
B |
C |
F |
A |
B |
C |
F |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
解：由真值表2-20可以看出，使逻辑函数F=1的只有一项，所以用积之和标准型写比较方便。
F=A'BC
可见，该函数表示的是一个三输入的与门的输出，是一个简单的逻辑与运算。
【例2-11】写出如表2-21所示的逻辑函数表达式。
表2-21 真值表
|
A |
B |
C |
F |
A |
B |
C |
F |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
由真值表2-21可以看出，使逻辑函数F=0的项比较少，所以用和之积标准型来写比较方便。
F=（A+B+C'）（A'+B+C）（A'+B'+C'）
由以上例题知道，根据函数的真值表，就可以通过积之和与和之积标准型方便地写出逻辑函数表达式。
任何逻辑函数都可以化为积之和的标准形式，方法是：利用公式A=A·1=A（B+B'），再展开A=AB+AB'，这样就可以将乘积项中没有出现的变量补齐，最后再将重复的项略去，得到积之和的标准形式。下面举例说明。
【例2-12】将函数F（A，B，C）=B+AC化为积之和标准型。
解：F（A，B，C）=B+AC
=B（A+A'）+AC（B+B'）
=AB+A' B+ABC+AB' C
=AB（C+C'）+A' B（C+C'）+ABC+AB' C
=ABC+ABC'+A' BC+A' BC'+ABC+AB' C
=ABC+ABC'+A' BC+A' BC'+AB' C
【例2-13】将函数F（A，B，C）=A化为积之和标准型。
解：F（A，B，C）=A
=A（B+B'）
=AB+AB'
=AB（C+C'）+AB'（C+C'）
=ABC+ABC'+AB' C+AB' C'
任何逻辑函数都可以化为和之积的标准形式，方法是：利用公式A=A+0=A+BB，再利用分配律展开得A=（A+B）（A+B'），这样就可以将和式中没有出现的变量补齐，最后再将重复的项略去，得到和之积的标准形式。下面举例说明。
【例2-14】将函数F（A，B，C）=B化为和之积标准型。
解：F（A，B，C）=B
=B+AA'
=（B+A）（B+A'）
=（B+A+CC'）（B+A'+CC'）
=（B+A+C）（B+A+C'）（B+A'+C）（B+A'+C'）
=（A+B+C）（A+B+C'）（A'+B+C）（A'+B+C'）
【例2-15】将函数F（A，B，C）=AC+BC化为和之积标准型。
解：F（A，B，C）=AC+BC
=（A+B）C
=（A+B+CC'）（C+AA'）
=（A+B+C）（A+B+C'）（C+A）（C+A'）
=（A+B+C）（A+B+C'）（C+A+BB'）（C+A'+BB'）
=（A+B+C）（A+B+C'）（C+A+B）（C+A+B'）（C+A'+B）（C+A'+B'）
=（A+B+C）（A+B+C'）（A+B+C）（A+B'+C）（A'+B+C）（A'+B'+C）