3.4 电阻、电感和电容元件上电压与电流的相量关系
3.4 电阻、电感和电容元件上电压与电流的相量关系
3.4.1 电阻元件上电压与电流的相量关系
1．电流与电压的关系
假设电阻R两端的电压与电流采用关联参考方向，如图3-10所示。设通过电阻的正弦电流为
i(t)Imcos(wt+qi) （3.4.1）
对电阻元件而言，在任何瞬间，电流和电压之间都满足欧姆定律，即
（3.4.2）
由此可见，在正弦交流电路中，电阻元件的电流和电压是同频率的正弦波，见图3-11，其有效值和相位的关系分别为
（a） （b）
图3-10 电阻元件 图3-11 电阻元件上电流与电压之间的关系
电阻上的正弦电流和电压用相量表示为
根据欧姆定律，有
是电阻元件相量形式的欧姆定律，它全面反映了电阻元件上正弦电压、电流的有效值关系及相位关系。
2．电阻元件的功率和能量
在关联参考方向下，交流电路中任一瞬间电阻元件上电压与电流的乘积称为该元件的瞬时功率，用小写字母p表示，即
（3.4.3）
从上式可知，瞬时功率随电压与电流的变化而变化。正弦交流电路中电阻元件的瞬时功率为
（3.4.4）
由上式画出p的变化曲线，如图3-12所示。
从功率曲线可以看出，电阻元件的瞬时功率以电压、电流频率的两倍作周期性变化。在关联方向下，功率恒为正值，说明电阻总是消耗电能，为耗能元件。工程上应用的是功率的平均值，即平均功率（也叫有功功率），用大写字母P表示。周期性交流电路中的平均功率是瞬时功率一个周期内的平均值，即
（3.4.5）
图3-12 电阻元件的电流、电压波形和相量
正弦交流电路中电阻元件的平均功率为
（3.4.6）
由 
可以得出电阻元件平均功率的公式为
（3.4.7）
功率的单位为瓦（W），工程上常用千瓦（kW）。
注意：式（3.4.7）与直流电路中电阻元件功率形式上相同，但本质上不同，这时的UR和IR均为有效值。
因平均功率表现了元件实际消耗电能的情况，所以又称为有功功率，简称功率。例如，60W灯泡是指灯泡的平均功率为60W。
3.4.2 电感元件上电压与电流的相量关系
1．电流与电压的关系
设有一电感L，其电压、电流采用关联参考方向，如图3-13所示，其电流与电压的瞬时关系为
（3.4.8）
当通过电感的电流为
则 
而 
故 
因此有
或
XL=ωL=2πfL具有电阻的量纲，称为感抗。当L的单位为H，ω的单位为rad/s时，XL单位为Ω。对于一定的电感L，当频率越高时，其所呈现的感抗越大；反之越小。
电感元件上电压和电流的相位关系见图3-14所示。
（3.4.9）
图3-13 电感元件 图3-14 电感元件上电压和电流的波形图
电感元件上电压和电流的相量关系推导如下所示：
上式称为电感元件相量形式的伏安关系，如图3-15所示，式中的系数j有时称为旋转因子。
设通过电感元件的电流为
则在关联参考方向下，电感的电压为
因此，电感的瞬时功率为
2．电感元件的功率和磁场能量
由上式可以画出瞬时功率随时间变化的曲线，如图3-16所示。从曲线上可以看出，瞬时功率是以两倍于电流、电压的频率按正弦规律变化，其幅值为ULIL。
图3-15 电感元件电流和电压的相量图 图3-16 电感元件的功率曲线
电感元件的平均功率为瞬时功率在一个周期的平均值，即
（3.4.10）
电感元件的平均功率为零，说明电感元件不消耗电能，它是一个储能元件。
电感元件上的平均功率为零的原因可以从图3-16得出。在第一个和第三个1/4周期内，PL为正，此时电感元件从电源吸收能量，即电流值在增大，磁场在建立，电感元件储存能量；在第二和第四个1/4周期内，PL为负，电感元件把储存的能量送回电源，即此时电流在减小，磁场在消失。由于电路中无其他耗能元件，所以在一个周期内电感元件吸收的能量等于其释放的能量；在以后的变化过程中，随着电压、电流的不断交替变化，电感元件周期地与电源进行着能量的交换，而自身并不消耗电能，所以其平均功率为零。
电感储存的磁能为
（3.4.11）
利用三角公式sin2 X=(1-cos2X)/2，上式可改写成
电感能够吸收能量又能释放能量，表面电感不断在与外路（电源）进行能量交换。为了衡量这种能量交换的规模，引入电感的无功功率。把电感元件上电压的有效值和电流的有效值的乘积叫做电感元件的无功功率，即电感瞬时功率的最大值，用QL表示。
（3.4.12）
QL＞0，表明电感元件是接受无功功率的。无功功率的单位为乏（var），工程中也常用千乏（kvar），1 kvar=1000var。
【例3-2】已知一个电感L=2H，接在
的电源上，求：
（1）XL。
（2）通过电感的电流iL。
（3）电感上的无功功率QL。
解：（1）
（2）
（3）
3.4.3 电容元件上电压与电流的相量关系
1．电流与电压的关系
设有一电容C，其电压、电流采用关联参考方向，如图3-17所示，其电流与电压的瞬时关系为：
（3.4.13）
又因为 
则 
所以 
式中XC具有电阻的量纲称为容抗，当ω的单位为rad/s，C的单位为F时，XC的单位为Ω。容抗表示电容元件在交流电路中对电流的一种阻碍作用。在一定的电压下，容抗XC越大，电路电流I越小。容抗的大小取决于电容C和电源的频率f，并与它们成反比关系。如图3-18所示为容抗与频率的关系曲线。当f趋于零时，XC趋于无穷大，所以在直流电路中XC为无穷大，C相当于断路。当f增大时，XC趋于零，所以频率很高时，信号易通过电容。
电容元件上电压和电流的相位关系为
（3.4.14）
图3-17 电容电路 图3-18 容抗与频率的关系曲线图
电容元件上电压与电流的波形图如图3-19所示。
图3-19 电容元件上电流和电压的波形图
电容元件上电压和电流的相量关系
或
上式为电容元件上电压与电流的相量关系式，从式中即可以得出有效值关系(UC=ICXC)，又可以得到相位关系，即
比
滞后90°，其（电流与电压的）相量图见图3-20所示。
图3-20 电容元件上电流与电压的相量图
2．电容元件功率
根据前面的定义，电容上的瞬时功率为
上式表明瞬时功率为正弦函数，最大值为
，频率为电压频率的两倍。图3-21为电容元件上的功率曲线，图中标出的虚线方向为电流、电压的实际方向。
图3-21 电容元件功率曲线
从图3-21可看出，在第一个1/4周期内，电压与电流同为正值，两者实际方向相同，所以瞬时功率为正值，电容被充电。此时电容元件从电源吸收能量，转为电场能量，储存在电容中，电压uC从零增加至最大值。
第二个1/4周期内，电压uC仍为正值，但从最大值减为零，电流iC为负值，两者实际方向相反，此时瞬时功率为负值。电容放电，电容元件将能量送回电源。
第三、第四个1/4周期和第一、第二个1/4周期一样，读者可自行分折。
由以上分析可知，电容的充放电过程就是电容元件的电场能量和电源电能进行周期性交换的过程，电容元件本身并不消耗能量，它在一周期内平均功率为零，即
（3.4.15）
与电感相同，电容也是储能元件，电容储存的电能为
利用三角公式
上式可改写成
电容的平均储能为
电容元件虽然没有能量消耗，但同样存在与外电路（电源）的能量交换。如同衡量电感能量交换规模一样，引入电容的无功功率。电容元件上尽管平均功率为零，但瞬时功率并不为零。将电容元件上电压的有效值与电流的有效值乘积的负值，（瞬时功率的最大值）定义为无功功率。它表示电源能量与电场能量交换的最大速率，用符号QC表示。即
QC＜0表示电容元件是发出无功功率的，QC和QL一样，单位也是乏（var）或千乏（kvar）。
【例3-3】一电容C=100μF，接于
的电源上。求：
（1）流过电容的电流IC。
（2）电容元件的有功功率PC和无功功率QC。
（3）电容中储存的最大电场能量WCm。
（4）绘电流和电压的相量图。
解：（1）
所以
|
图3-22 【例3-3】相量图 |
（3）
=
（4）相量图如图3-22所示。