9.2 集成运放在信号运算方面的应用
9.2 集成运放在信号运算方面的应用
模拟运算是运算放大器的开发利用中用得最早和较为重要得一个方面。运算电路由集成运放和外加的反馈电路组成，可以实现输出量与输入量之间一定的函数运算关系，如：比例运算、加法和减法运算、微分和积分等线性运算、对数和指数、乘法和除法等非线性运算。此时，只是整个电路的输出量与输入量之间为非线性运算关系，而运放的输出量与净输入量之间仍然为线性关系。
9.2.1 加法和减法运算电路
1．加法运算电路
按照输入方式的不同，加法运算电路可以分为反相加法器和同相加法器。
（1）反相加法运算电路。反相加法运算电路如图9-5所示，利用这个电路可以实现3个输入信号之间的求和运算。
图9-5 反相求和电路
因为Rf引入负反馈，所以运放工作在线性区，则
，
故
（9.2.1）
（9.2.2）
反相求和电路可以模拟如下方程
（9.2.3）
例如，要求用集成运算放大器实现
如果Rf=100kW，电路如图9-5所示，则只要选取
R1=50kW
R2=100kW
R3=20kW
则 
如图9-5所示电路对
、
、
呈现的输入电阻分别为
，
，
输出电阻为 
在反相加法运算电路中，如果改变某一输入电路的电阻，即可改变输出与该项输入之间的比例系数，但对其他支路的比例关系没有影响，因而调整非常方便。在实际系统中，常用它对各种信号按不同比例进行综合。
（2）同相加法运算电路。图9-6为同相加法运算电路。顾名思义，将求和输入信号接在同相输入端，反馈电阻Rf仍然接在反相输入端，构成深度负反馈。
因为
，
，所以
图9-6 同相求和电路
（9.2.4）
因为I+=0，所以
Ia+Ib+Ic=0
即 
因为 
（9.2.5）
式中R′=Ra∥Rb∥Rc，所以
（9.2.6）
若满足平衡条件
，则
（9.2.7）
该电路对
、
、
所呈现的输入电阻分别为
（9.2.8）
（9.2.9）
（9.2.10）
输出电阻为 
输出电压Uo与各输入电压之间为按比例求和关系，且为同相。由于电阻
与各输入支路的电阻都有关系，需要调整比例系数时，各电阻值互相影响，使调整非常不便，所以在应用时应特别注意。
实现信号的加法运算可以选用反相加法器，也可以选用同相加法器。同相加法器属于电压串联负反馈，有很高的输入电阻，但在输入端加有共模输入电压，当共模电压值超过运放所能承受的最大共模输入电压Uicm时，运放的共模抑制比将显著下降，以至于不能正常工作。
2．减法运算电路
|
图9-7 减法运算电路图 |
单独作用时为反相输入比例运算电路，其输出电压为
（9.2.11）
单独作用时为同相输入比例运算，其输出电压为
（9.2.12）
和
共同作用时，输出电压为：
（9.2.13）
若
（断开），则
（9.2.14）
若R1=R2，且R3=Rf，则
（9.2.15）
若R1=R2=R3=Rf，则
（9.2.16）
由此可见，输出电压与两个输入电压之差成正比，实现了减法运算。该电路又称为差动输入运算电路或差动放大电路。
图9-8为两级运放构成的反相输入减法电路。电路由第一级的反相器和第二级的加法运算电路级联而成。
图9-8 反相输入减法电路
（9.2.17）
【例9-1】 求如图9-9所示电路中uo与ui的关系。
解：电路由两级放大电路组成。第一级由运放A1、A2组成，它们都是同相输入，输入电阻很高，并且由于电路结构对称，可抑制零点漂移。根据运放工作在线性区的两条分析依据可知
图9-9 【例9-1】用图
故 
第二级是由运放A3构成的差动放大电路，其输出电压为
电压放大倍数为
9.2.2 微分和积分运算电路
1．微分运算电路
（1）反相微分运算的基本电路图如图9-10所示。输入信号ui通过电容C接在运放的反相输入端，负反馈
跨接在反相输入端和输出端之间，构成反相微分运算电路。
由于反相输入端虚地，且
，由图可得
，
由此可得
（9.2.18）
输出电压与输入电压对时间的微分成正比。
若ui为恒定电压U，则在ui作用于电路的瞬间，微分电路输出一个尖脉冲电压，波形如图9-11所示。
图9-10 微分运算电路 图9-11 微分电路波形图
（2）实际的微分电路图如图9-11所示。此基本微分电路虽然从原理上可以实现微分运算，但是在实际应用中，稳定性较差。这是因为：
① 由于输出
正比于
，因此输出对输入的变化（如噪声和干扰等）非常敏感，使电路输出端的信噪比大为下降。
|
图9-12 反相积分运算电路 |
2．积分运算电路
反相积分运算电路：图9-12为反相积分运算的基本电路。积分与微分互为逆运算，只要将反相微分运算电路中的电阻与电容互换位置即可以实现反相积分运算。
由于反相输入端虚地，且
，由图可得
，
由此可得
（9.2.19）
输出电压与输入电压对时间的积分成正比。
若ui为恒定电压U，则输出电压uo为
（9.2.20）
当输入信号ui为一阶电压时，输出电压uo为时间t的一次函数，但是积分值超出运放的线性范围，输出达负向饱和值-Uom，不再维持与输入信号之间的反相积分关系，如图9-13（a）所示。若输入信号ui为方波，则输出在线性范围内为三角波，如图9-13（b）所示。利用积分电路，可以进行波形转换。
（a）阶跃输入 （b）方波输入
图9-13 基本积分电路的积分波形
9.2.3 对数和指数运算电路
利用具有指数伏安特性的二极管或三极管接在运算放大器的反馈回路或输入回路中，即可构成对数或指数（反对数）运算电路。
1．对数运算电路
如图9-14所示为基本对数运算电路。设二极管中流过的电流为iVD，管压降为uVD，有
（9.2.21）
当
时
（9.2.22）
当二极管正向导通时
（9.2.23）
由于“-”端是虚地，所以
，
（9.2.24）
图9-14电路只使用与输入电压uI>0的情况，若uI<0时，只需将NPN型三极管换成PNP型管，或将二极管反向即可，如图9-15所示。
图9-14 基本对数运算电路 图9-15 用三极管的对数运算电路
2．指数运算电路
指数（反对数）是对数的逆运算。只要将对数运算电路中的二极管从反馈回路接至输入回路中，即构成如图9-16所示的指数运算电路。
图9-16 基本指数运算电路
由于“-”端是虚地，所以二极管的端电压uVD为
（9.2.25）
当uI>>UT时
（9.2.26）
又因为i-=0，所以if=iVD，故
（9.2.27）
可见，输出电压uo与输入电压uI的指数成正比。
9.2.4 模拟乘法器
1．模拟乘法器电路的基本原理
乘法器是一种广泛使用的模拟集成电路，它可以实现乘、除、开方、乘方、调幅等功能，广泛应用于模拟运算、通信、测控系统、电气测量和医疗仪器等许多领域。乘法器的电路形式很多，主要有两种：利用对数和反对数电路的乘法器和模拟乘法器。
模拟乘法器是一种能实现模拟量相乘的集成电路，设vO和vX、vY分别为输出和两路输入
（9.2.28）
其中K为比例因子，具有
的量纲。模拟乘法器的电路符号如图9-17所示。
图9-17 模拟乘法器符号
对于差动放大电路，输出电压为
（9.2.29）
（9.2.30）
（9.2.31）
（9.2.32）
如果能用uY去控制IE，即实现IE∞uY，uo就基本上与两输入电压之积成比例。于是实现两模拟量相乘的电路构思。
2．变跨导型模拟乘法器
根据图9-18的原理可以制成所谓的变跨导模拟乘法器。在推导高频微变等效电路时，将放大电路的增益写成为
（9.2.33）
只不过在式中的gm是固定的。而图9-18中如果gm是可变的，受一个输入信号的控制，那该电路就是变跨导模拟乘法器。由于IE∞vFY，而IE∞gm，所以vY∞gm。输出电压为
（9.2.34）
由于图9-18的电路对非线性失真等因素没有考虑，相乘的效果不好。实际的变跨导模拟乘法器的主要电路环节如图9-19所示。
图9-18 模拟乘法器原理图 图9-19 变跨导模拟乘法器
3．对数反对数型模拟乘法器
根据两数相乘的对数等于两数的对数之和的原理，因此可以用对数放大器、反对数放大器和加法器来实现模拟量的相乘。方框图如图9-20所示。
图9-20 简单乘法器框图
则 
（9.2.35）
9.2.5 模拟乘法器的应用
1．乘积和乘方运算电路
（1）相乘运算。模拟乘法运算电路如图9-21所示。
（2）乘方和立方运算。将相乘运算电路的两个输入端并联在一起就是乘方运算电路，电路如图9-22所示。立方运算电路如图9-23所示。
图9-21 模拟相乘器 图9-22 平方运算电路 图9-23 立方运算电路
2．除法运算电路
除法运算电路如图9-24所示。
图9-24 除法电路
因为运放的“-”端是虚地，并且i-=0，所以
因为
，由以上两式得
（9.2.36）
正确地选取R1与R2的值，使R2/R1=k，则
（9.2.37）
3．开平方运算电路
开平方运算电路如图9-25所示。
图9-25 开平方电路（u1＞0）
因为运放的“-”端是虚地，并且i-=0，所以
因为
，
所以
（9.2.38）
正确地选取R1与R2的值，使R2/R1=k，则
（9.2.39）
【例9-2】如图9-26所示是一个由理想运放构成的高输入阻抗放大器，求其输入电阻ri。
解：两个运放都外加有负反馈，所以都工作在线性区。则
当R-R1→0时，ri→∞。一般为防止自激，以保证ri为正值，R要略大于R1。
图9-26 高输入阻抗放大器