4.5 一阶电路的阶跃响应

4.5  一阶电路的阶跃响应

单位阶跃函数用 表示，其定义为

                                        （4.5.1）

的波形如图4-20所示，它在（0_-，0₊）时域内发生了跳跃。

在t=0处它是不连接的，函数值由0跃变到1，对于所研究的问题来说，在t=0处的值是无关紧要的。在电路中单位阶跃函数的意义是在t=0时把电路接到单位电源上（如1V或1A的电流源）。如果电路中接入电源的幅值为U，这个阶跃电压可以表示为

                                           （4.5.2）

单位阶跃函数表示的是从t=0时开始的阶跃，如果阶跃是从t=t₀开始的，则可以认为是在时间上延迟t₀后得到的结果，故称为延迟的阶跃函数，其符号为，定义为

                                        （4.5.3）

波形如图4-21所示。

图4-20  单位阶跃函数                  图4-21  延迟的单位阶跃函数

和单位阶跃函数类似，延迟的单位阶跃函数可以表示t=t₀时刻的开关动作。

单位阶跃函数可以用来“起始”任意一个函数f(t)。设f(t)是对所有t都有定义的一个任意函数，则

                                         （4.5.4）

                                                 （4.5.5）

波形图见图4-22。

（a）                       （b）                         （c）

图4-22  单位阶跃函数的起始作用

用单位阶跃函数可以表示一个矩形脉冲。利用阶跃函数可以把一个矩形脉冲分解为两个幅值相等、符号不同的跃阶电压，如图4-23所示，一个为正阶跃电压，另一个为延时负阶跃电压，可记作

                            （4.5.6）

（a）              （b）                 （c）

图4-23  矩形脉冲分解

电路对于单位阶跃输入的零状态响应称为电路的阶跃响应，用s(t)表示。它的解法与一阶电路的零状态响应类似，即令一阶电路在直流输入电源作用下的零状态响应的公式中的输入为，就获得了该电路的阶跃响应，为表示此响应仅适用于t≥0₊，可以在所得结果的后面乘以单位阶跃函数。另外，用一阶电路的三要素法，直接求出响应函数，再乘以单位阶跃函数。

【例4-7】电路如图4-24所示，激励为阶跃函数，u_C(0_-)=0，求阶跃响应。

另外，据一阶电路的三要素法，有

可以看出，以上两种解法结果一样。

【例4-8】在【例4-7】中，如果电源为，重新求阶跃响应。

解：这里激励不是在t=0时刻，而是在时刻加上的，因此，只要将上例中零状态响应表达式中的t改为，即有